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Défaite

Mon esprit logique a été défait par une question que d’aucun pourrait (éventuellement) trouver fort simple.

Soit un réel E strictement positif et un réel x tous les deux quelconques fixés et a un irrationnel donné, on peut trouver p et q des entiers tels que : |x – pa + q| est strictement plus petit que E.

Ce qui revient plus ou moins à dire que le sous-groupe additif {p + aq avec p,q entiers} est dense dans l’ensemble des réels. Ce qui ne m’aide pas des masses non plus…

La seule démonstration que j’ai trouvé est : puisque a est irrationnel, dans l’infinité de ses décimales qui ne se répètent jamais, on doit bien pouvoir trouver à un endroit ou à un autre la suite des chiffres de x avec une précision de E, il suffit alors de multiplier a par une puissance de 10 grande pour décaler la virgule jusque là où il faut, et on soustrait de ce nombre tous les chiffres de gauche dont on n’a pas besoin plus quelques unités des chiffres que l’on veut garder si, d’aventure, on avait trouvé une suite de chiffres au sein des décimales qui ne soit pas absolument parfaite et que l’on peut ainsi corriger.

Le problème, c’est que cette démonstration n’a rien de mathématique et que je ne retrouve plus l’éventuelle démonstration dans mon cours que je suis presque persuadé d’avoir déjà faite… Enfin bref, si quelqu’un de doué passe par là…

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